Valori sorprendenti dell'esponenziale
di Giuliano Artico
Dipartimento di Matematica — Via Trieste 63, 35121 Padova, Italy
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SOMMARIO

  1. Un esperimento ideale.
  2. Un famoso aneddoto.
È molto difficile rendersi veramente conto della rapidità con cui cresce la funzione esponenziale al crescere dell'esponente. Per dare un'idea di tale comportamento, consideriamo un esperimento ideale e un famoso aneddoto. Al lettore è richiesta una piccola dose di immaginazione nel forzare mentalmente le limitazioni materiali dei procedimenti descritti.

Un esperimento ideale


Preso un foglio di carta sottile, pieghiamolo una prima volta in due, poi pieghiamo di nuovo in due il foglio ripiegato, poi una terza volta e così via. Supponiamo che lo spessore originale del foglio, prima di iniziare il procedimento, sia di un decimo di millimetro. Indichiamo tale valore con la lettera u e adottiamolo come unità di misura. Inoltre indichiamo con la lettera s lo spessore generico del foglio ripiegato e notiamo che a ogni piegatura ha luogo un raddoppiamento di s. Riportiamo nella tabella seguente alcuni valori di s relativi ai primi passi, considerando come passo 0 la situazione iniziale del foglio non ripiegato:
Numero passo Spessore
n=0 s=1=20 u
n=1 s=2=21 u
n=2 s=4=22 u
n=3 s=8=23 u
n=4 s=16=24 u
... ...
n qualunque s=2n u

Evidenziamo che i valori presenti nella colonna di destra sono misurati in unità u, pari a un decimo di millimetro. Così, ad esempio, al passo n=4 lo spessore è di 1.6 millimetri e, in generale, al passo n-esimo sarà di 2n decimi di millimetro, cioé 2n/10 millimetri. Naturalmente l'operazione è realizzabile in concreto solo per i primi passi, ma noi stiamo supponendo di poterla estendere idealmente eseguendo un numero di piegature arbitrario.

Ora si chiede al lettore di dare una stima dello spessore dopo cento passi cioè, in sostanza, di valutare approssimativamente la misura di 2100 decimi di millimetro.

Il risultato è davvero sorprendente: tale misura è di circa 12.7 miliardi di anni luce, cioé più o meno la distanza percorsa da un raggio di luce dal big bang a oggi!

Nella prossima tabella è riportata una stima approssimativa di alcuni valori di s, messi a confronto con quantità conosciute. Come nella tabella precedente, n indica il numero di pieghe eseguite e lo spessore s è misurato in unità u, cioè indica il numero di strati del foglio ripiegato.

Numero passo Spessore Termine di confronto
n=23 s=8.39*106 u un chilometro=107 u
n=51 s=2.2*1015 u distanza terra-sole=1.5*1015 u
n=66 s=7.38*1019 u un anno-luce≅1020 u
n=100 s=1.27*1030 u distanza dal big bang≅1.5*1030 u


Un famoso aneddoto


Narra la leggenda che l'inventore degli scacchi, il bramino Sissa, quando presentò in dono al suo sovrano il nuovo gioco, chiese modestamente come ricompensa una certa quantità di riso che si doveva calcolare così: si dovevano mettere un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, 2 chicchi nella seconda, 4 nella terza, 8 nella quarta, e così via, cioè in ogni casella il doppio dei chicchi messi nella casella precedente. Il burlone chiese che gli fosse consegnato il contenuto della 64-esima casella.

Il re pensava di cavarsela con poco, ma evidentemente non conosceva la funzione esponenziale: infatti allibì quando i suoi esperti lo informarono che la quantità di riso richiesta superava di gran lunga le risorse del suo impero!

Facciamo un piccolo calcolo. Stimando in 1/45 di grammo il peso medio di un chicco di riso, il peso di 263 chicchi (quelli che dovrebbero trovarsi nella 64-esima casella) è di oltre 200 miliardi di tonnellate.

Considerando che la produzione mondiale di riso nel 2006 è stata di 636 milioni di tonnellate, a questo livello di produzione occorrono oltre trecento anni per produrre tale quantità di riso. Possiamo fare un altro confronto. Supponendo di caricare il riso in vagoni merci a quattro assi, che sono lunghi 20 metri e trasportano ciascuno 50 tonnellate, occorrerebbe un treno lungo 80 milioni di chilometri, vale a dire:




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