Esercizio. Con un’opportuna sostituzione, calcolare:

∫ \frac{6 − 5\sqrt{x}}{2x^{2} − 6x\sqrt{x}}dx.

Risoluzione. Posto \sqrt{x} = t, abbiamo la sostituzione x = t^{2}, da cui dx = 2t dt. Allora:

I = ∫ \frac{6 − 5\sqrt{x}}{2x^{2} − 6x\sqrt{x}}dx = ∫ \frac{6 − 5t}{2t^{4} − 6t^{2} · t} · 2t dt = ∫ \frac{6 − 5t}{t^{3} − 3t^{2}} dt

Abbiamo ora una funzione razionale alla quale applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati (osservare che 0 è radice doppia del denominatore):

\frac{−5t + 6}{t^{2}(t − 3)} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t^{2}} + \frac{c}{t − 3}
−5t + 6 = at(t − 3) + b(t − 3) + ct^{2}
−5t + 6 = at^{2} − 3at + bt − 3b + ct^{2}
−5t + 6 = (a + c)t^{2} + (b − 3a)t − 3b

Uguagliamo i coefficienti dei termini di pari grado^{1}:

\{ \begin{matrix}a + c = 0 \\ b − 3a = −5 \\ −3b = 6 \end{matrix}  \{ \begin{matrix}b = −2 \\ −2 − 3a = −5 \\ c = −a \end{matrix}  \{ \begin{matrix}a = 1 \\ b = −2 \\ c = −1 \end{matrix}

Allora abbiamo:

∫ \frac{6 − 5t}{t^{3} − 3t^{2}} dt = ∫ \frac{1}{t}dt − ∫ \frac{2}{t^{2}} dt − ∫ \frac{1}{t − 3}dt =
= log |t| + \frac{2}{t} − log |t − 3| + k

Infine, sostituendo t con \sqrt{x}, otteniamo l’integrale richiesto:

I = log \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} − log |\sqrt{x} − 3| + k = log \frac{\sqrt{x}}{|\sqrt{x} − 3|} + \frac{2}{\sqrt{x}} + k

1Un altro modo per trovare a, b, c è sostituire a t valori opportuni, cioè 0, 3, 1.